25 ene. 2008

La paradoja de los gemelos

La mayoría de la gente habrá oído hablar de la paradoja de los gemelos, que tiene que ver con la Teoría de la Relatividad de Einstein, si bien, en numerosas ocasiones es explicada de forma incorrecta. ¿De qué trata? Bueno, imaginemos a dos hermanos gemelos, uno de los cuales se monta en una nave espacial y se dirige hacia una estrella a unos pocos años luz, mientras que el otro se queda en la Tierra. La nave espacial no puede viajar más rápido que la luz, pero sí que lo hace a una fracción considerable de ésta. En consecuencia, el viaje dura algunos años. El viajero llega a su destino, se queda un tiempo y decide volver. La Relatividad Especial nos dice que el tiempo se ralentiza con la velocidad, de forma que para el viajero, el tiempo transcurre más lentamente que para su hermano, y por tanto envejece más despacio. Así, cuando se ambos se reencuentran en la Tierra, el viajero es más joven que su hermano. Supongamos, por ejemplo, que el hermano que permaneció en la Tierra ha envejecido 10 años, y el viajero sólo ha envejecido 6. En muchas ocasiones, la explicación termina aquí. En realidad, esto no es ninguna paradoja. No hay ninguna contradicción. Es una forma sencilla de explicar el efecto de dilatación temporal de la Relatividad Especial.
La verdadera paradoja surge cuando tenemos en cuenta que la velocidad no tiene un sentido absoluto, sino que es relativa. En efecto, si viajo en tren y voy caminando hacia la cafetería ¿cuál es mi velocidad? Pues depende, ya que una pregunta así está mal formulada. Velocidad ¿con respecto a qué? Mi velocidad con respecto al tren será muy diferente a mi velocidad con respecto al exterior. Pues bien, la explicación anterior de los gemelos está explicada desde el punto de vista del gemelo que se queda en la Tierra. Él ve a su hermano moverse a una velocidad considerable con respecto a su sistema de referencia, y por tanto el tiempo transcurre más despacio para su hermano. Pero ¿qué pasa si lo hacemos desde el punto de vista del gemelo viajero? En su sistema de referencia (la nave), sería la Tierra la que se mueve con respecto a él, por lo que sería su hermano (el de la Tierra) el que experimentara la dilatación temporal. Al regresar, el viajero esperaría encontrarse a su hermano más joven que él. Es decir, ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él mismo. Y lógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, o uno es más joven que el otro, pero no puede ser que ambos sean más jovenes que el otro simultáneamente. Pues bien, eso sí es una paradoja.
La paradoja de los gemelos fue imaginada hace casi un siglo, poco después de que Einstein desarrollara su Teoría Especial de la Relatividad, allá por 1905. Según algunas fuentes, fue el propio Einstein quien planteo la paradoja por primera vez, y según otras, fue el físico francés Paul Langevin. En cualquier caso, esta paradoja es una de las que nos muestran que la Relatividad puede llegar a ser difícil de comprender si intentamos razonar dentro de los límites de la mecánica clásica, que es la que podemos experimentar en nuestra vida cotidiana.

Comprendiendo la Realidad
Cuando tras un razonamiento, llegamos a una contradicción (en este caso, que ambos gemelos son más jóvenes que su hermano), o bien la premisa es falsa, o bien el razonamiento es incorrecto. La Relatividad ha sido corroborada de forma empírica en numerosas ocasiones, por lo que necesariamente es el razonamiento el que ha fallado.
Lo primero que hay que entender de la Relatividad, es que en realidad son dos teorías: la Relatividad Especial y la Relatividad General. Eninstein desarrolló la Teoría Especial de la Relatividad al intentar unificar la mecánica clásica y el electromagnetismo. Parte de dos postulados. El primero de ellos se basa en la invariancia de Galileo, y nos dice que las leyes físicas son las mismas para cualquier observador inercial, o lo que es lo mismo, que no existe un sistema de referencia inercial preferente. El segundo nos dice que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad del observador.
¿Qué quiere decir todo esto? El primer postulado es algo que todos más o menos sabemos, y que he comentado al exponer la paradoja de los gemelos. La velocidad no es absoluta, sino relativa. No importa si estoy en reposo o si me muevo a velocidad constante. En mis experimentos y observaciones, puedo adoptar cualquier sistema de referencia en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme, es decir, cualquier sistema de referencia inercial, y obtendré los mismos resultados.
El segundo postulado es el que “lo complica todo”. El que la velocidad de la luz (en el vacío) sea siempre la misma, independientemente de la velocidad del observador, es algo antiintuitivo. Si viajamos a 90 km/h y un coche nos adelanta a 120 km/h, es evidente que el otro coche se mueve a 30 km/h con respecto a nosotros. Sin embargo, si viajamos en una nave a la mitad de la velocidad de la luz, y nos lanzan señales electromagnéticas desde la Tierra, veremos esas señales llegar hasta nosotros a la velocidad de la luz, no a la mitad de esa velocidad. Y sin embargo, desde la Tierra también verán esas señales viajando a la velocidad de la luz. Todo esto trae como consecuencia la famosa dilatación temporal, y otros efectos de los que luego hablaré.

Limitaciones de la Relatividad Espacial
Pero fijaos otra vez en el primer postulado. Habla de sistemas de referencia inerciales. La Relatividad Especial sólo es aplicable a sistemas de referencia inerciales, es decir, a sistemas de referencia que estén en reposo o se muevan en línea recta con velocidad constante. En el caso de la paradoja de los gemelos, llega un momento en el que la nave da la vuelta, es decir, su velocidad varía. Está sometido a aceleraciones, y por lo tanto, la nave deja de ser un sistema de referencia inercial. La Relatividad Especial no puede aplicarse.
En ocasiones, se utiliza una versión modificada de la paradoja, en la que ambos gemelos orbitan alrededor de la Tierra, a la misma velocidad constante, siguiendo idénticas trayectorias, pero en sentidos opuestos. Aunque la velocidad sea constante, ninguno de los gemelos es un sistema de referencia inercial, puesto que siguen trayectorias curvas (circunferencias o elipses). Por tanto tampoco se puede aplicar la Relatividad Especial.
Estas limitaciones de la Relatividad Especial llevaron a Einstein a ampliar su teoría para tener en cuenta sistemas no inerciales, desarrollando la Teoría General de la Relatividad. Los nombres de las teorías con bastante descriptivos: la Relatividad General es una teoría global, que se puede aplicar en todo momento. La Relatividad Especial es una versión particularizada de la Relatividad General, que sólo se puede aplicar en casos muy específicos (en sistemas de referencia inerciales). Las matemáticas implicadas en la Relatividad General son muy complejas, mientras que las de la Relatividad Especial son bastante sencillas, por lo que cuando se puede, es preferible utilizar esta última.

La paradoja, dentro de la Relatividad Especial
¿Podemos imaginar un experimento similar al de la paradoja de los gemelos, dentro de la Relatividad Especial? Sí. Imaginemos una nave espacial viajando en línea recta hacia la Tierra. Tras pasar por la ésta, continúa su camino hacia un planeta, que llamaremos planeta X, y una vez alcanzado, continua su camino.
En este caso, tanto el sistema de referencia centrado en la Tierra, como el centrado en la nave, son inerciales. Podemos aplicar la Relatividad Especial. Un observador de la Tierra vería que el tiempo transcurre más lentamente dentro de la nave. Y un observador en la nave, vería que el tiempo transcurre más lentamente en la Tierra.
¿Paradoja? Tampoco. Simplemente no estamos teniendo en cuenta otros efectos e la Relatividad Especial.


Contracción espacial
La dilatación temporal no es el único efecto de la Relatividad Espacial. Para un observador cualquiera, un objeto en movimiento con respecto a él, parece más corto que cuando está en reposo. Es decir, el espacio se contrae en la dirección del movimiento.
Una forma de ilustrarlo es con la llamada paradoja de la escalera, aunque para explicarla utilizaré un tren y un tunel, que creo que es más sencillo (en la paradoja original, se utiliza una escalera de mano y un garaje). Imaginemos una via ferrea recta que atraviesa un tunel. Imaginemos un tren cuya longitud es igual a la del tunel. Esta medición la hacemos cuando el tren está parado. Parece bastante evidente que cuando el tren atraviesa el tunel, la parte delantera alcanza la salida justo en el momento en el que la cola pasa por la entrada.
Pero imaginemos que el tren se desplaza a una velocidad cercana a la de la luz. Para un observador situado en la vía (en reposo con respecto al tunel), el tren sufre una contracción espacial por estar en movimiento, y es más corto que el tunel. Durante un tiempo, el tren estará completamente dentro del tunel, o lo que es lo mismo, cuando la cola alcance la entrada, la cabecera aún no habrá llegado a la salida.
Sin embargo, para un observador situado en el tren, es el tunel el que su mueve, y por tanto, es el tunel quien sufre la contracción espacial, haciéndose más corto. Para él, el tunel será más corto que el tren, y éste nunca estará completamente dentro del tunel. Es decir, cuando la cabecera alcanza la salida, la cola aún no ha llegado a la entrada.
Entonces, el tren ¿cabe o no cabe dentro del tunel?


El factor de Lorenz
Antes de seguir, conviene preguntarse cuánto se dilata el tiempo o cuánto se contrae el espacio en función de la velocidad. La respuesta viene dada por el llamado factor de Lorentz, que se representa por la letra griega γ, y se define de la siguiente forma:
γ=1/(1-v2/c2)1/2
donde v es la velocidad de uno de los sistemas inerciales con respecto al otro y c la velocidad de la luz. En un sistema de referencia cualquiera, un objeto moviéndose a velocidad v con respecto a él, parecerá γ veces más corto, y el tiempo parecerá transcurrir γ veces más despacio. Es decir, para calcular la longitud o el tiempo transcurrido en el objeto móvil, debemos dividir por γ. Podemos ver que para velocidades muy pequeñas, γ es aproximadamente 1, y por tanto, no apreciamos ninguno de estos fenómenos.
Veamos ahora ambos efectos, la dilatación temporal y la contracción espacial, en nuestro escenario de la nave. Para ver mejor lo que quiero explicar, supongamos que dos naves realizan el mismo viaje: se acercan a la Tierra a velocidad constante y en línea recta, continúan hacia el planeta X, y lo sobrepasan, continuando su camino. Las llamaremos nave A y nave B. Imaginemos que el planeta X hacia el que se dirigen las naves está a 4 años luz de la Tierra, y que éstas viajan a 0,8 c (es decir, un 80% de la velocidad de la luz). Esto nos da un γ de 1,6666… Como tenemos un número infinito de decimales, será más cómodo utilizar el inverso de γ (es decir, 1/γ) que es 0,6. Es decir, en vez de dividir por 1,66666… multiplicaremos por 0,6.
Bien, imaginemos también que en desde el punto de vista de las naves (es decir, en su sistema de referencia, que se desplaza a 0,8 c con respecto a la Tierra) estan separadas también 4 años luz entre sí. Además, en el momento en el que la nave A pasa junto a la Tierra, los relojes de la nave A y de la Tierra están sincronizados, y marcan 0.
Para un observador de la Tierra, las naves recorren una distancia de 4 años luz a 0,8 c, por lo que aplicando la sencilla fórmula que relaciona distancia, velocidad y tiempo (t=v/d) la duración del viaje sería de 5 años (4/0,8=5). Debido a la dilatación temporal, el observador terrestre calcula que el tiempo de las naves pasa más lentamente, concretamente, cuando la nave A llega al planeta X, el tiempo transcurrido para ellas debería ser de 3 años (5·0,6=3), es decir, el reloj de la primera nave debería marcar 3. Además, debido a la contracción espacial, para el observador terrestre, las naves están separadas 2,4 años luz entre sí (4·0,6=2,4). Eso quiere decir que la nave B pasará junto a la Tierra 3 años después que la primera (2,4/0,8), en tiempo de la Tierra, que corresponderían a 1,8 años en tiempo de la nave (3·0,6=1,8). Es decir, la nave B pasaría junto a la Tierra, antes de que la nave A llegue al planeta X. La segunda nave también tardaría 5 años en llegar al Planeta X, lo que sumados a los 3 años que tarda en acercarse a la Tierra, tenemos que el reloj terrestre marcaría 8 años, y el de la nave 4,8 (8·0,6=4,8).
Pongámonos ahora en la piel del piloto de la nave A. Pera él, tanto su nave como la nave B están quietas, y son los planetas los que se dirigen hacia ellas. En su sistema de referencia, las naves están separadas 4 años luz, puesto que están en reposo. La distancia entre la Tierra y el planeta X se ha acortado a 2,4 años luz, por estar en movimiento con respecto a ellas. Así, puesto que se mueve a 0,8 c, el viaje desde la Tierra hasta el planeta dura 3 años (2,4/0,8=3). ¡Vaya! Lo mismo que había calculado el observador terrestre. Pero sigamos. Como la Tierra tiene que recorrer 4 años luz entre ambas naves (recordemos que en este sistema de referencia, son los planetas los que se mueven), la nave B se encontrará con él 5 años después que la nave A (4/0,8=5). El planeta X se encontrará con la nave B, 3 años después de este momento, es decir, 8 años después del inicio del experimento.
El piloto de la nave calculará que el tiempo de la Tierra transcurre más lentamente, exactamente en la misma proporciona que había calculado el observador terrestre para la nave. Es decir, cuando la nave A llegue al planeta X, pensará que en la Tierra sólo habrán transcurrido 1,8 años (3·0,6=1,8).
Parece que algo no cuadra ¿verdad? No sólo con respecto a los tiempos, que siempre son menores en “el otro” sistema de referencia. Fijaos en el orden de sucesos. Para el observador terrestre, primero pasa la nave B junto a la Tierra y, después la nave A llega al planeta X. Pero para el piloto, la nave A llega al planeta X antes de que la nave B pase junto a la Tierra. ¿Cómo es posible?

Relatividad de la simultaneidad
Este ejemplo mezcla la paradoja de los gemelos y la paradoja de la escalera, e ilustra algo que es fundamental para comprender realmente todas las implicaciones de la Relatividad Especial, y que normalmente es ignorado por la mayoría de la gente: la relatividad de la simultaneidad. La simultaneidad de dos sucesos depende del observador, o lo que es lo mismo, el orden cronológico de dos sucesos puede variar dependiendo del observador.
Esto explica la paradoja de la escalera, que expuse antes con el tren y el tunel. Debemos olvidarnos del concepto “caber en el tunel”, y pensar únicamente en términos de sucesos. Para el observador de la vía, el suceso “la cabecera cruza la salida” es posterior al suceso “la cola cruza la entrada”. Sin embargo, para el viajero del tren, el suceso “la cabecera cruza la salida” es anterior al suceso “la cola cruza la entrada”.
¿Y qué pasa con la paradoja de los gemelos? Pues algo similar. No hay que pensar en términos de transcurso del tiempo, sino en términos de sucesos tipo “el reloj marca tal tiempo”. Así, los sucesos “el reloj terrestre marca 5” y “la nave A llega al planeta X” son simultáneos para el observador terrestre, pero para el piloto ocurrirán en momentos muy diferentes. Por el contrario, para él, serán simultáneos los sucesos “el reloj de la Tierra marca 1,8” y “la nave A llega al planeta X”.

Causalidad
Puesto que el orden de sucesos se altera dependiendo del observador, uno podría preguntarse qué ocurre con la causalidad. Existen sucesos que son consecuencia de otros. ¿Podría ser que para un observador, la consecuencia precediera a la causa? No. Únicamente sucesos que no están conectados causalmente, pueden alterar su orden. Fijáos que en el ejemplo de las naves, para ambos observadores, la nave A pasa por la Tierra primero, y llega al planeta X después. La llegada al planeta X es consecuencia de su paso por la Tierra. Lo mismo sucede con el tren y el tunel. Siempre cruzará primero la entrada la cabecera y después la cola, y nunca al revés.
En el caso de las naves, los sucesos “la nave A pasa junto al planeta X” y “la nave B pasa junto a la Tierra” no están conectados causalmente y pueden alterar su orden. Esto es porque son eventos muy “distantes” en el espacio-tiempo, como para que uno influya en el otro.
¿Seguro? Imaginemos que la nave A, al llegar al planeta X, descubre una flota alienígena hostil que les ataca. Desde el punto de vista de la nave A, a la nave B aún le quedan 2 años para pasar junto a la Tierra, así que el piloto decide enviar una señal de alarma al Mando Terrestre, para que ordene a la nave B que no continue su camino, y se detenga antes de llegar a la Tierra. La distancia entre los planetas es de 2,4 años luz en el sistema de referencia del piloto, por lo que la señal de alarma tarda 2,4 años en llegar. Es decir, demasiado tarde, pues la nave B ya habrá pasado junto a la Tierra. Nada puede viajar más rápido que la luz, incluyendo la información, por lo que el suceso “la nave A pasa junto al planeta X” está demasiado separado del suceso “la nave B pasa junto a la Tierra”, como para que pueda influir en él.

Taquiones
Alguno pensará ahora en los taquiones. ¿Qué son los taquiones? Pues son unas partículas hipotéticas que viajarían a velocidades superiores a la de la luz. La Relatividad Especial permite la posible existencia de dichas partículas, que serían muy peculiares: su masa sería un número imaginario (es decir, raíz cuadrada de un número negativo), y nunca podrían ir más despacio que la velocidad de la luz. Ni siquiera podrían alcanzarla.
Sin embargo, su existencia sería un problema desde el punto de vista de la causalidad. Si se puede transmitir información a más velocidad que la luz, la señal de alarma de la nave A llegaría a la Tierra antes que la nave B, desde el punto de vista del piloto. Pero recordemos que para un observador terrestre. Primero llega la nave B a la Tierra, y después llega la nave A al planeta X. ¿Cómo es posible que llegue una señal de alerta, iniciada por la nave A al llegar al planeta X, antes de que realmente llegue?
Pues no es posible. Así que una de dos: o los taquiones no pueden existir, o en caso de hacerlo, no pueden utilizarse para transmitir información. Una pena, ya que si esto es así, nunca descubriremos un modo de viajar más rápido que la luz, o comunicarnos de forma casi instantanea entre las estrellas.

Conclusión
Si habéis conseguido llegar hasta aquí, y si habéis asimilado todo esto, comprenderéis que la paradoja de los gemelos en realidad no existe. Es fruto de una comprensión incompleta de la Relatividad.
Para los curiosos que se preguntan “sí, vale, pero ¿qué ocurre entonces cuando el gemelo viajero da la vuelta?”. Pues algo muy curioso. Utilicemos los mismos valores que con las dos naves. El planeta está a 4 años luz y la velocidad de la nave es de 0,8 c. Durante el viaje vería que su hermano envejece más lentamente que él, de forma que al llegar al planeta, él ha envejecido 3 años, y su hermano sólo 1,8. Pero al realizar la maniobra de “media vuelta” someterse a aceleraciones y cambiar de sistema de referencia, vería cómo su hermano envejece 6,4 años muy rápidamente, superándole en edad. ¿Cómo? Pues debido a la Relatividad General (que debo reconocer que me supera). Durante el viaje de vuelta, volvería a apreciar que el tiempo pasa más despacio en la Tierra, y al igual que antes, él envejece 3 años mientras su hermano envejece sólo 1,8. Al llegar, el viajero habrá envejecido 6 años (3 en la ida y 3 en la vuelta), y su hermano que se quedó en la Tierra, 10 años (1,8 en la ida, 1,8 en la vuelta, y 6,4 durante la maniobra de cambio de sentido). El que viaja es el que envejece más despacio.

Pueden experimentar todo el proceso, sin necesidad de construir una nave espacial, en esta página de ENCIGA, pero para lo que necesitáis tener instalado el último plugin de Java, y además el API de Java 3D.

No hay comentarios: